다음을 풀어보세요: {l}{y=mx+6}{y=a+2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = m x + 6 } \\ { y = a + 2 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{6-a}{m-2}\text{, }y=-\frac{12-am}{m-2}\text{, }&m\neq 2\\x=\frac{y-6}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=6\text{ and }m=2\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 mx을(를) 뺍니다.

$$y-mx=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=a$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+\left(-m\right)x=6,y-2x=a$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y+\left(-m\right)x=6$$

수식의 양쪽에 mx을(를) 더합니다.

$$y=mx+6$$

다른 수식 y-2x=a에서 mx+6을(를) y(으)로 치환합니다.

$$mx+6-2x=a$$

mx을(를) -2x에 추가합니다.

$$\left(m-2\right)x+6=a$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$\left(m-2\right)x=a-6$$

양쪽을 m-2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{a-6}{m-2}$$

y=mx+6에서 x을(를) \frac{a-6}{m-2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=m\times \frac{a-6}{m-2}+6$$

m에 \frac{a-6}{m-2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{m\left(a-6\right)}{m-2}+6$$

6을(를) \frac{m\left(a-6\right)}{m-2}에 추가합니다.

$$y=\frac{am-12}{m-2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{am-12}{m-2},x=\frac{a-6}{m-2}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 mx을(를) 뺍니다.

$$y-mx=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=a$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y+\left(-m\right)x=6,y-2x=a$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-m\right)}&-\frac{-m}{-2-\left(-m\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-m\right)}&\frac{1}{-2-\left(-m\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m-2}&\frac{m}{m-2}\\-\frac{1}{m-2}&\frac{1}{m-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{m-2}\right)\times 6+\frac{m}{m-2}a\\\left(-\frac{1}{m-2}\right)\times 6+\frac{1}{m-2}a\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{am-12}{m-2}\\\frac{a-6}{m-2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{am-12}{m-2},x=\frac{a-6}{m-2}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 mx을(를) 뺍니다.

$$y-mx=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=a$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y+\left(-m\right)x=6,y-2x=a$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y+\left(-m\right)x=6에서 y-2x=a을(를) 뺍니다.

$$y-y+\left(-m\right)x+2x=6-a$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-m\right)x+2x=6-a$$

-mx을(를) 2x에 추가합니다.

$$\left(2-m\right)x=6-a$$

양쪽을 -m+2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{6-a}{2-m}$$

y-2x=a에서 x을(를) \frac{6-a}{-m+2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y-2\times \frac{6-a}{2-m}=a$$

-2에 \frac{6-a}{-m+2}을(를) 곱합니다.

$$y-\frac{2\left(6-a\right)}{2-m}=a$$

수식의 양쪽에 \frac{2\left(6-a\right)}{-m+2}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{12-am}{2-m}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{12-am}{2-m},x=\frac{6-a}{2-m}$$