다음을 풀어보세요: {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

대입 및 근의 공식을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 kx을(를) 뺍니다.

$$y-kx=b$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 4을(를) 곱합니다.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대해 y+\left(-k\right)x=b을(를) 풉니다.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

수식의 양쪽에서 \left(-k\right)x을(를) 뺍니다.

$$y=kx+b$$

다른 수식 x^{2}+4y^{2}=4에서 kx+b을(를) y(으)로 치환합니다.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4에 k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}을(를) 곱합니다.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

x^{2}을(를) 4k^{2}x^{2}에 추가합니다.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1+4k^{2}을(를) a로, 4\times 2kb을(를) b로, -4+4b^{2}을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4에 1+4k^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2}에 -4+4b^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

64k^{2}b^{2}을(를) -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right)에 추가합니다.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2에 1+4k^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}을(를) 풉니다. -8kb을(를) 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}에 추가합니다.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}을(를) 2+8k^{2}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}을(를) 풉니다. -8kb에서 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}을(를) 2+8k^{2}(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} 및 -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}에 대해 두 개의 해답이 있습니다. 방정식 y=kx+b에서 \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}을(를) x(으)로 치환해서 두 수식을 모두 만족하는 y에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k에 \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

수식 y=kx+b에서 -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}을(를) x(으)로 치환하고 해답을 찾아서 두 수식을 모두 충족하는 y에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k에 -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}을(를) 곱합니다.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$