다음을 풀어보세요: {l}{y=k(x+1)}{x^2/2+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k ( x + 1 ) } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

대입 및 근의 공식을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 k에 x+1(을)를 곱합니다.

$$y=kx+k$$

다른 수식 x^{2}+2y^{2}=2에서 kx+k을(를) y(으)로 치환합니다.

$$x^{2}+2\left(kx+k\right)^{2}=2$$

kx+k을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+2\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=2$$

2에 k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}을(를) 곱합니다.

$$x^{2}+2k^{2}x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

x^{2}을(를) 2k^{2}x^{2}에 추가합니다.

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}-2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1+2k^{2}을(를) a로, 2\times 2kk을(를) b로, 2k^{2}-2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{\left(4k^{2}\right)^{2}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

2\times 2kk을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4에 1+2k^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+\left(-8k^{2}-4\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4-8k^{2}에 2k^{2}-2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+8+8k^{2}-16k^{4}}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

16k^{4}을(를) -16k^{4}+8k^{2}+8에 추가합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{8k^{2}+8}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

8k^{2}+8의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

2에 1+2k^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}을(를) 풉니다. -4k^{2}을(를) 2\sqrt{2k^{2}+2}에 추가합니다.

$$x=\frac{-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2}을(를) 2+4k^{2}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}을(를) 풉니다. -4k^{2}에서 2\sqrt{2k^{2}+2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2}을(를) 2+4k^{2}(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

x: \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} 및 -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}}에 대해 두 개의 해답이 있습니다. 방정식 y=kx+k에서 \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}}을(를) x(으)로 치환해서 두 수식을 모두 만족하는 y에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$y=k\times \frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}+k$$

k에 \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k$$

수식 y=kx+k에서 -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}}을(를) x(으)로 치환하고 해답을 찾아서 두 수식을 모두 충족하는 y에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$y=k\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)+k$$

k에 -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}}을(를) 곱합니다.

$$y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k,x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k,x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{; }x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=\frac{1-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+1}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$