다음을 풀어보세요: {l}{y=5+x}{5x-2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 + x } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=4$$

$$y=9$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-x=5$$

수식의 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$y=x+5$$

다른 수식 -2y+5x=2에서 x+5을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-2\left(x+5\right)+5x=2$$

-2에 x+5을(를) 곱합니다.

$$-2x-10+5x=2$$

-2x을(를) 5x에 추가합니다.

$$3x-10=2$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$3x=12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

y=x+5에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=4+5$$

5을(를) 4에 추가합니다.

$$y=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=9,x=4$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=9,x=4$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

y 및 -2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 5,-2y+5x=2$$

단순화합니다.

$$-2y+2x=-10,-2y+5x=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2y+2x=-10에서 -2y+5x=2을(를) 뺍니다.

$$-2y+2y+2x-5x=-10-2$$

-2y을(를) 2y에 추가합니다. -2y 및 2y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2x-5x=-10-2$$

2x을(를) -5x에 추가합니다.

$$-3x=-10-2$$

-10을(를) -2에 추가합니다.

$$-3x=-12$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

-2y+5x=2에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2y+5\times 4=2$$

5에 4을(를) 곱합니다.

$$-2y+20=2$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$-2y=-18$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=9,x=4$$