다음을 풀어보세요: {l}{y=4x+5}{y=8x+9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { y = 8 x + 9 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 8x을(를) 뺍니다.

$$y-8x=9$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-4x=5$$

수식의 양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$y=4x+5$$

다른 수식 y-8x=9에서 4x+5을(를) y(으)로 치환합니다.

$$4x+5-8x=9$$

4x을(를) -8x에 추가합니다.

$$-4x+5=9$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-4x=4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

y=4x+5에서 x을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=4\left(-1\right)+5$$

4에 -1을(를) 곱합니다.

$$y=-4+5$$

5을(를) -4에 추가합니다.

$$y=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=1,x=-1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 8x을(를) 뺍니다.

$$y-8x=9$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-4\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-9\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=1,x=-1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 8x을(를) 뺍니다.

$$y-8x=9$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y-4x=5에서 y-8x=9을(를) 뺍니다.

$$y-y-4x+8x=5-9$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4x+8x=5-9$$

-4x을(를) 8x에 추가합니다.

$$4x=5-9$$

5을(를) -9에 추가합니다.

$$4x=-4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

y-8x=9에서 x을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y-8\left(-1\right)=9$$

-8에 -1을(를) 곱합니다.

$$y+8=9$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$y=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=1,x=-1$$