다음을 풀어보세요: {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-4x=5$$

수식의 양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$y=4x+5$$

다른 수식 -3y+4x=3에서 4x+5을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

-3에 4x+5을(를) 곱합니다.

$$-12x-15+4x=3$$

-12x을(를) 4x에 추가합니다.

$$-8x-15=3$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$-8x=18$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{9}{4}$$

y=4x+5에서 x을(를) -\frac{9}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

4에 -\frac{9}{4}을(를) 곱합니다.

$$y=-9+5$$

5을(를) -9에 추가합니다.

$$y=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

y 및 -3y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

단순화합니다.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3y+12x=-15에서 -3y+4x=3을(를) 뺍니다.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

-3y을(를) 3y에 추가합니다. -3y 및 3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12x-4x=-15-3$$

12x을(를) -4x에 추가합니다.

$$8x=-15-3$$

-15을(를) -3에 추가합니다.

$$8x=-18$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{9}{4}$$

-3y+4x=3에서 x을(를) -\frac{9}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

4에 -\frac{9}{4}을(를) 곱합니다.

$$-3y-9=3$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$-3y=12$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$