다음을 풀어보세요: {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2에 대한 해

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x_{1} 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 x_{1}을(를) 곱합니다.

$$x_{2}=2x_{1}$$

양쪽 모두에서 2x_{1}을(를) 뺍니다.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x_{1}을(를) 고립시켜 x_{1}에 대한 해를 찾습니다.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

수식의 양쪽에서 x_{2}을(를) 뺍니다.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

다른 수식 -2x_{1}+x_{2}=0에서 -x_{2}+97을(를) x_{1}(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-2에 -x_{2}+97을(를) 곱합니다.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

2x_{2}을(를) x_{2}에 추가합니다.

$$3x_{2}-194=0$$

수식의 양쪽에 194을(를) 더합니다.

$$3x_{2}=194$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97에서 x_{2}을(를) \frac{194}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x_{1}에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

97을(를) -\frac{194}{3}에 추가합니다.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x_{1} 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 x_{1}을(를) 곱합니다.

$$x_{2}=2x_{1}$$

양쪽 모두에서 2x_{1}을(를) 뺍니다.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x_{1} 및 x_{2}을(를) 추출합니다.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x_{1} 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 x_{1}을(를) 곱합니다.

$$x_{2}=2x_{1}$$

양쪽 모두에서 2x_{1}을(를) 뺍니다.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x_{1}+x_{2}=97에서 -2x_{1}+x_{2}=0을(를) 뺍니다.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

x_{2}을(를) -x_{2}에 추가합니다. x_{2} 및 -x_{2}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

x_{1}을(를) 2x_{1}에 추가합니다.

$$3x_{1}=97$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0에서 x_{1}을(를) \frac{97}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x_{2}에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

-2에 \frac{97}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{194}{3}을(를) 더합니다.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$