다음을 풀어보세요: {l}{x-y=60}{2x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 60 } \\ { 2 x = y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-60$$

$$y=-120$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x-y=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=60,2x-y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=60$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+60$$

다른 수식 2x-y=0에서 y+60을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(y+60\right)-y=0$$

2에 y+60을(를) 곱합니다.

$$2y+120-y=0$$

2y을(를) -y에 추가합니다.

$$y+120=0$$

수식의 양쪽에서 120을(를) 뺍니다.

$$y=-120$$

x=y+60에서 y을(를) -120(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-120+60$$

60을(를) -120에 추가합니다.

$$x=-60$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-60,y=-120$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x-y=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=60,2x-y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-2\times 60\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-120\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-60,y=-120$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x-y=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=60,2x-y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x-y=60에서 2x-y=0을(를) 뺍니다.

$$x-2x-y+y=60$$

-y을(를) y에 추가합니다. -y 및 y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x-2x=60$$

x을(를) -2x에 추가합니다.

$$-x=60$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-60$$

2x-y=0에서 x을(를) -60(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2\left(-60\right)-y=0$$

2에 -60을(를) 곱합니다.

$$-120-y=0$$

수식의 양쪽에 120을(를) 더합니다.

$$-y=120$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-120$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-60,y=-120$$