다음을 풀어보세요: {l}{x-y=3}{3x+y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 3 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=3,3x+y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=3$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+3$$

다른 수식 3x+y=8에서 y+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(y+3\right)+y=8$$

3에 y+3을(를) 곱합니다.

$$3y+9+y=8$$

3y을(를) y에 추가합니다.

$$4y+9=8$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$4y=-1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{4}$$

x=y+3에서 y을(를) -\frac{1}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}+3$$

3을(를) -\frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x=\frac{11}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=3,3x+y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\\-\frac{3}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=3,3x+y=8$$

x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 3,3x+y=8$$

단순화합니다.

$$3x-3y=9,3x+y=8$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-3y=9에서 3x+y=8을(를) 뺍니다.

$$3x-3x-3y-y=9-8$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3y-y=9-8$$

-3y을(를) -y에 추가합니다.

$$-4y=9-8$$

9을(를) -8에 추가합니다.

$$-4y=1$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{4}$$

3x+y=8에서 y을(를) -\frac{1}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-\frac{1}{4}=8$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{4}을(를) 더합니다.

$$3x=\frac{33}{4}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{11}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$