다음을 풀어보세요: {l}{x-y=2a}{2x+3y=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 a } \\ { 2 x + 3 y = 5 - a } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=a+1$$

$$y=1-a$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=2a$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+2a$$

다른 수식 2x+3y=5-a에서 y+2a을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(y+2a\right)+3y=5-a$$

2에 y+2a을(를) 곱합니다.

$$2y+4a+3y=5-a$$

2y을(를) 3y에 추가합니다.

$$5y+4a=5-a$$

수식의 양쪽에서 4a을(를) 뺍니다.

$$5y=5-5a$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=1-a$$

x=y+2a에서 y을(를) 1-a(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=1-a+2a$$

2a을(를) 1-a에 추가합니다.

$$x=a+1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=a+1,y=1-a$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\\-\frac{2}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+1\\1-a\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=a+1,y=1-a$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2a,2x+3y=5-a$$

단순화합니다.

$$2x-2y=4a,2x+3y=5-a$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-2y=4a에서 2x+3y=5-a을(를) 뺍니다.

$$2x-2x-2y-3y=4a+a-5$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-3y=4a+a-5$$

-2y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-5y=4a+a-5$$

4a을(를) -5+a에 추가합니다.

$$-5y=5a-5$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=1-a$$

2x+3y=5-a에서 y을(를) 1-a(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+3\left(1-a\right)=5-a$$

3에 1-a을(를) 곱합니다.

$$2x+3-3a=5-a$$

수식의 양쪽에서 3-3a을(를) 뺍니다.

$$2x=2a+2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=a+1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=a+1,y=1-a$$