다음을 풀어보세요: {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=10$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+10$$

다른 수식 2x+2y+\frac{1}{2}=200에서 y+10을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

2에 y+10을(를) 곱합니다.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

2y을(를) 2y에 추가합니다.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

20을(를) \frac{1}{2}에 추가합니다.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

수식의 양쪽에서 \frac{41}{2}을(를) 뺍니다.

$$4y=\frac{359}{2}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{359}{8}$$

x=y+10에서 y을(를) \frac{359}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

10을(를) \frac{359}{8}에 추가합니다.

$$x=\frac{439}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

단순화합니다.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-2y=20에서 2x+2y+\frac{1}{2}=200을(를) 뺍니다.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

20을(를) -200에 추가합니다.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{359}{8}$$

2x+2y+\frac{1}{2}=200에서 y을(를) \frac{359}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

2에 \frac{359}{8}을(를) 곱합니다.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{359}{4}을(를) \frac{1}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

수식의 양쪽에서 \frac{361}{4}을(를) 뺍니다.

$$2x=\frac{439}{4}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{439}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$