다음을 풀어보세요: {l}{x-y=-1}{-2x+by=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 1 } \\ { - 2 x + b y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{b+1}{b-2}$$

$$y=-\frac{3}{b-2}$$

$$b\neq 2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=-1,-2x+by=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=-1$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y-1$$

다른 수식 -2x+by=-1에서 y-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(y-1\right)+by=-1$$

-2에 y-1을(를) 곱합니다.

$$-2y+2+by=-1$$

-2y을(를) by에 추가합니다.

$$\left(b-2\right)y+2=-1$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$\left(b-2\right)y=-3$$

양쪽을 -2+b(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{b-2}$$

x=y-1에서 y을(를) -\frac{3}{-2+b}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{b-2}-1$$

-1을(를) -\frac{3}{-2+b}에 추가합니다.

$$x=-\frac{b+1}{b-2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{b+1}{b-2},y=-\frac{3}{b-2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=-1,-2x+by=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&b\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{b-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{b-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{b-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{b-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{b-2}&\frac{1}{b-2}\\\frac{2}{b-2}&\frac{1}{b-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{b-2}\left(-1\right)+\frac{1}{b-2}\left(-1\right)\\\frac{2}{b-2}\left(-1\right)+\frac{1}{b-2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{b+1}{b-2}\\-\frac{3}{b-2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{b+1}{b-2},y=-\frac{3}{b-2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=-1,-2x+by=-1$$

x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-2x-2\left(-1\right)y=-2\left(-1\right),-2x+by=-1$$

단순화합니다.

$$-2x+2y=2,-2x+by=-1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x+2y=2에서 -2x+by=-1을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x+2y+\left(-b\right)y=2+1$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y+\left(-b\right)y=2+1$$

2y을(를) -by에 추가합니다.

$$\left(2-b\right)y=2+1$$

2을(를) 1에 추가합니다.

$$\left(2-b\right)y=3$$

양쪽을 2-b(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3}{2-b}$$

-2x+by=-1에서 y을(를) \frac{3}{2-b}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+b\times \frac{3}{2-b}=-1$$

b에 \frac{3}{2-b}을(를) 곱합니다.

$$-2x+\frac{3b}{2-b}=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{3b}{2-b}을(를) 뺍니다.

$$-2x=-\frac{2\left(b+1\right)}{2-b}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{b+1}{2-b}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{b+1}{2-b},y=\frac{3}{2-b}$$