다음을 풀어보세요: {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

대입 및 근의 공식을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y^{2}을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

양쪽에 6을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대해 x-y=\frac{1}{4}을(를) 풉니다.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

수식의 양쪽에서 -y을(를) 뺍니다.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

다른 수식 -y^{2}+3x^{2}=6에서 y+\frac{1}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

y+\frac{1}{4}을(를) 제곱합니다.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

3에 y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}을(를) 곱합니다.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

-y^{2}을(를) 3y^{2}에 추가합니다.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1+3\times 1^{2}을(를) a로, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2을(를) b로, -\frac{93}{16}을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-4에 -1+3\times 1^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -\frac{93}{16}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{4}을(를) \frac{93}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

\frac{195}{4}의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

2에 -1+3\times 1^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}을(를) 풉니다. -\frac{3}{2}을(를) \frac{\sqrt{195}}{2}에 추가합니다.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3+\sqrt{195}}{2}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}을(를) 풉니다. -\frac{3}{2}에서 \frac{\sqrt{195}}{2}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3-\sqrt{195}}{2}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

y: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} 및 \frac{-3-\sqrt{195}}{8}에 대해 두 개의 해답이 있습니다. 방정식 x=y+\frac{1}{4}에서 \frac{-3+\sqrt{195}}{8}을(를) y(으)로 치환해서 두 수식을 모두 만족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

수식 x=y+\frac{1}{4}에서 \frac{-3-\sqrt{195}}{8}을(를) y(으)로 치환하고 해답을 찾아서 두 수식을 모두 충족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$