다음을 풀어보세요: {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-7y=6$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$x=7y+6$$

다른 수식 5x+3y=2에서 7y+6을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

5에 7y+6을(를) 곱합니다.

$$35y+30+3y=2$$

35y을(를) 3y에 추가합니다.

$$38y+30=2$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$38y=-28$$

양쪽을 38(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{14}{19}$$

x=7y+6에서 y을(를) -\frac{14}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

7에 -\frac{14}{19}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

6을(를) -\frac{98}{19}에 추가합니다.

$$x=\frac{16}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

단순화합니다.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x-35y=30에서 5x+3y=2을(를) 뺍니다.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-35y-3y=30-2$$

-35y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-38y=30-2$$

30을(를) -2에 추가합니다.

$$-38y=28$$

양쪽을 -38(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{14}{19}$$

5x+3y=2에서 y을(를) -\frac{14}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

3에 -\frac{14}{19}을(를) 곱합니다.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

수식의 양쪽에 \frac{42}{19}을(를) 더합니다.

$$5x=\frac{80}{19}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{16}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$