다음을 풀어보세요: {l}{x-4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-4y=5$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$x=4y+5$$

다른 수식 -2x-y=-4에서 4y+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(4y+5\right)-y=-4$$

-2에 4y+5을(를) 곱합니다.

$$-8y-10-y=-4$$

-8y을(를) -y에 추가합니다.

$$-9y-10=-4$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$-9y=6$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{2}{3}$$

x=4y+5에서 y을(를) -\frac{2}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=4\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

4에 -\frac{2}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{8}{3}+5$$

5을(를) -\frac{8}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{7}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\left(-4\right)\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

단순화합니다.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=-4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x+8y=-10에서 -2x-y=-4을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x+8y+y=-10+4$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y+y=-10+4$$

8y을(를) y에 추가합니다.

$$9y=-10+4$$

-10을(를) 4에 추가합니다.

$$9y=-6$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{2}{3}$$

-2x-y=-4에서 y을(를) -\frac{2}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-\left(-\frac{2}{3}\right)=-4$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{3}을(를) 뺍니다.

$$-2x=-\frac{14}{3}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{7}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$