다음을 풀어보세요: {l}{x-3y=4}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-3y=4$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$x=3y+4$$

다른 수식 5x+3y=-1에서 3y+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

5에 3y+4을(를) 곱합니다.

$$15y+20+3y=-1$$

15y을(를) 3y에 추가합니다.

$$18y+20=-1$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$18y=-21$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{7}{6}$$

x=3y+4에서 y을(를) -\frac{7}{6}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

3에 -\frac{7}{6}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

4을(를) -\frac{7}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

단순화합니다.

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x-15y=20에서 5x+3y=-1을(를) 뺍니다.

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-15y-3y=20+1$$

-15y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-18y=20+1$$

20을(를) 1에 추가합니다.

$$-18y=21$$

양쪽을 -18(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{7}{6}$$

5x+3y=-1에서 y을(를) -\frac{7}{6}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

3에 -\frac{7}{6}을(를) 곱합니다.

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{2}을(를) 더합니다.

$$5x=\frac{5}{2}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$