다음을 풀어보세요: {l}{x-3=y}{x/4-1=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { \frac { x } { 4 } - 1 = y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-3-y=0$$

양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

양쪽에 1을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

수식의 양쪽 모두에 4을(를) 곱합니다.

$$x-4y=4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=3,x-4y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=3$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+3$$

다른 수식 x-4y=4에서 y+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$y+3-4y=4$$

y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-3y+3=4$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-3y=1$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=y+3에서 y을(를) -\frac{1}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}+3$$

3을(를) -\frac{1}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{8}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-3-y=0$$

양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

양쪽에 1을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

수식의 양쪽 모두에 4을(를) 곱합니다.

$$x-4y=4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=3,x-4y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-3-y=0$$

양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$\frac{x}{4}-1-y=0$$

양쪽에 1을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$\frac{x}{4}-y=1$$

수식의 양쪽 모두에 4을(를) 곱합니다.

$$x-4y=4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=3,x-4y=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x-y=3에서 x-4y=4을(를) 뺍니다.

$$x-x-y+4y=3-4$$

x을(를) -x에 추가합니다. x 및 -x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-y+4y=3-4$$

-y을(를) 4y에 추가합니다.

$$3y=3-4$$

3을(를) -4에 추가합니다.

$$3y=-1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x-4y=4에서 y을(를) -\frac{1}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-4\left(-\frac{1}{3}\right)=4$$

-4에 -\frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{4}{3}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{8}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{3},y=-\frac{1}{3}$$