다음을 풀어보세요: {l}{x-2y=-6}{6x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{14}{15}\approx -0.933333333$$

$$y = \frac{38}{15} = 2\frac{8}{15} \approx 2.533333333$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-2y=-6$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$x=2y-6$$

다른 수식 6x+3y=2에서 -6+2y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(2y-6\right)+3y=2$$

6에 -6+2y을(를) 곱합니다.

$$12y-36+3y=2$$

12y을(를) 3y에 추가합니다.

$$15y-36=2$$

수식의 양쪽에 36을(를) 더합니다.

$$15y=38$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{38}{15}$$

x=2y-6에서 y을(를) \frac{38}{15}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2\times \frac{38}{15}-6$$

2에 \frac{38}{15}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{76}{15}-6$$

-6을(를) \frac{76}{15}에 추가합니다.

$$x=-\frac{14}{15}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{15}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{15}\\\frac{38}{15}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+3y=2$$

단순화합니다.

$$6x-12y=-36,6x+3y=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x-12y=-36에서 6x+3y=2을(를) 뺍니다.

$$6x-6x-12y-3y=-36-2$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-3y=-36-2$$

-12y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-15y=-36-2$$

-36을(를) -2에 추가합니다.

$$-15y=-38$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{38}{15}$$

6x+3y=2에서 y을(를) \frac{38}{15}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+3\times \frac{38}{15}=2$$

3에 \frac{38}{15}을(를) 곱합니다.

$$6x+\frac{38}{5}=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{38}{5}을(를) 뺍니다.

$$6x=-\frac{28}{5}$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{14}{15}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$