다음을 풀어보세요: {l}{x=y-5}{1/3x=2(y-5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = y - 5 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x = 2 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-y=-5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 y-5(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{3}x=2y-10$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x-2y=-10$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=-5,\frac{1}{3}x-2y=-10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=-5$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y-5$$

다른 수식 \frac{1}{3}x-2y=-10에서 y-5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{3}\left(y-5\right)-2y=-10$$

\frac{1}{3}에 y-5을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}-2y=-10$$

\frac{y}{3}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{5}{3}=-10$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{3}을(를) 더합니다.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{25}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=5$$

x=y-5에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=5-5$$

-5을(를) 5에 추가합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=5$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-y=-5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 y-5(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{3}x=2y-10$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x-2y=-10$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=-5,\frac{1}{3}x-2y=-10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=5$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-y=-5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 y-5(을)를 곱합니다.

$$\frac{1}{3}x=2y-10$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x-2y=-10$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=-5,\frac{1}{3}x-2y=-10$$

x 및 \frac{x}{3}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{3}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\left(-1\right)y=\frac{1}{3}\left(-5\right),\frac{1}{3}x-2y=-10$$

단순화합니다.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3},\frac{1}{3}x-2y=-10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}에서 \frac{1}{3}x-2y=-10을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+2y=-\frac{5}{3}+10$$

\frac{x}{3}을(를) -\frac{x}{3}에 추가합니다. \frac{x}{3} 및 -\frac{x}{3}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-\frac{1}{3}y+2y=-\frac{5}{3}+10$$

-\frac{y}{3}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}y=-\frac{5}{3}+10$$

-\frac{5}{3}을(를) 10에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}y=\frac{25}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=5$$

\frac{1}{3}x-2y=-10에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{1}{3}x-2\times 5=-10$$

-2에 5을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{3}x-10=-10$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{3}x=0$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=5$$