다음을 풀어보세요: {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=8$$

$$y=-12$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{1}{4}y을(를) 더합니다.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

수식의 양쪽에서 \frac{y}{4}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

다른 수식 3x+2y=0에서 -\frac{y}{4}+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

3에 -\frac{y}{4}+5을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

-\frac{3y}{4}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-12$$

x=-\frac{1}{4}y+5에서 y을(를) -12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

-\frac{1}{4}에 -12을(를) 곱합니다.

$$x=3+5$$

5을(를) 3에 추가합니다.

$$x=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=8,y=-12$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{1}{4}y을(를) 더합니다.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=8,y=-12$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{1}{4}y을(를) 더합니다.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

단순화합니다.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+\frac{3}{4}y=15에서 3x+2y=0을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

\frac{3y}{4}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-12$$

3x+2y=0에서 y을(를) -12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

2에 -12을(를) 곱합니다.

$$3x-24=0$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$3x=24$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=8,y=-12$$