다음을 풀어보세요: {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-9$$

$$y=-12$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{4}y을(를) 뺍니다.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{8}{9}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

수식의 양쪽에 \frac{3y}{4}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{3}{4}y$$

다른 수식 -\frac{8}{9}x+y=-4에서 \frac{3y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

-\frac{8}{9}에 \frac{3y}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

-\frac{2y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y=-12$$

x=\frac{3}{4}y에서 y을(를) -12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

\frac{3}{4}에 -12을(를) 곱합니다.

$$x=-9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-9,y=-12$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{4}y을(를) 뺍니다.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{8}{9}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-9,y=-12$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{4}y을(를) 뺍니다.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{8}{9}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

x 및 -\frac{8x}{9}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -\frac{8}{9}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

단순화합니다.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0에서 -\frac{8}{9}x+y=-4을(를) 뺍니다.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

-\frac{8x}{9}을(를) \frac{8x}{9}에 추가합니다. -\frac{8x}{9} 및 \frac{8x}{9}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

\frac{2y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

양쪽에 -3을(를) 곱합니다.

$$y=-12$$

-\frac{8}{9}x+y=-4에서 y을(를) -12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

수식의 양쪽을 -\frac{8}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-9,y=-12$$