다음을 풀어보세요: {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=45$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+45$$

다른 수식 18x+120y=6000에서 -y+45을(를) x(으)로 치환합니다.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

18에 -y+45을(를) 곱합니다.

$$-18y+810+120y=6000$$

-18y을(를) 120y에 추가합니다.

$$102y+810=6000$$

수식의 양쪽에서 810을(를) 뺍니다.

$$102y=5190$$

양쪽을 102(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{865}{17}$$

x=-y+45에서 y을(를) \frac{865}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

45을(를) -\frac{865}{17}에 추가합니다.

$$x=-\frac{100}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

x 및 18x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 18을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

단순화합니다.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x+18y=810에서 18x+120y=6000을(를) 뺍니다.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$18y-120y=810-6000$$

18y을(를) -120y에 추가합니다.

$$-102y=810-6000$$

810을(를) -6000에 추가합니다.

$$-102y=-5190$$

양쪽을 -102(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{865}{17}$$

18x+120y=6000에서 y을(를) \frac{865}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

120에 \frac{865}{17}을(를) 곱합니다.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

수식의 양쪽에서 \frac{103800}{17}을(를) 뺍니다.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{100}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$