다음을 풀어보세요: {l}{x+y=40}{y+2=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { y + 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=14$$

$$y=26$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y+2-2x=0$$

양쪽 모두에서 2을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$y-2x=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=40$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+40$$

다른 수식 -2x+y=-2에서 -y+40을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-y+40\right)+y=-2$$

-2에 -y+40을(를) 곱합니다.

$$2y-80+y=-2$$

2y을(를) y에 추가합니다.

$$3y-80=-2$$

수식의 양쪽에 80을(를) 더합니다.

$$3y=78$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=26$$

x=-y+40에서 y을(를) 26(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-26+40$$

40을(를) -26에 추가합니다.

$$x=14$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=14,y=26$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y+2-2x=0$$

양쪽 모두에서 2을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$y-2x=-2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 40-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\times 40+\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\26\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=14,y=26$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y+2-2x=0$$

양쪽 모두에서 2을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$y-2x=-2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+y=40에서 -2x+y=-2을(를) 뺍니다.

$$x+2x+y-y=40+2$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x+2x=40+2$$

x을(를) 2x에 추가합니다.

$$3x=40+2$$

40을(를) 2에 추가합니다.

$$3x=42$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=14$$

-2x+y=-2에서 x을(를) 14(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2\times 14+y=-2$$

-2에 14을(를) 곱합니다.

$$-28+y=-2$$

수식의 양쪽에 28을(를) 더합니다.

$$y=26$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=14,y=26$$