다음을 풀어보세요: {l}{x+y=40}{x=1/7y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { x = \frac { 1 } { 7 } y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=35$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{7}y을(를) 뺍니다.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=40$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+40$$

다른 수식 x-\frac{1}{7}y=0에서 -y+40을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-y+40-\frac{1}{7}y=0$$

-y을(를) -\frac{y}{7}에 추가합니다.

$$-\frac{8}{7}y+40=0$$

수식의 양쪽에서 40을(를) 뺍니다.

$$-\frac{8}{7}y=-40$$

수식의 양쪽을 -\frac{8}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=35$$

x=-y+40에서 y을(를) 35(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-35+40$$

40을(를) -35에 추가합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=35$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{7}y을(를) 뺍니다.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{7}}{-\frac{1}{7}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\\frac{7}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 40\\\frac{7}{8}\times 40\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=35$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{7}y을(를) 뺍니다.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+y=40에서 x-\frac{1}{7}y=0을(를) 뺍니다.

$$x-x+y+\frac{1}{7}y=40$$

x을(를) -x에 추가합니다. x 및 -x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y+\frac{1}{7}y=40$$

y을(를) \frac{y}{7}에 추가합니다.

$$\frac{8}{7}y=40$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=35$$

x-\frac{1}{7}y=0에서 y을(를) 35(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-\frac{1}{7}\times 35=0$$

-\frac{1}{7}에 35을(를) 곱합니다.

$$x-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=35$$