다음을 풀어보세요: {l}{x+y=4}{10y+x=(10x+y)-27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) - 27 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$10y+x-10x=y-27$$

x과(와) -10x을(를) 결합하여 -9x(을)를 구합니다.

$$10y-9x=y-27$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$10y-9x-y=-27$$

10y과(와) -y을(를) 결합하여 9y(을)를 구합니다.

$$9y-9x=-27$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=4$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+4$$

다른 수식 -9x+9y=-27에서 -y+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-9\left(-y+4\right)+9y=-27$$

-9에 -y+4을(를) 곱합니다.

$$9y-36+9y=-27$$

9y을(를) 9y에 추가합니다.

$$18y-36=-27$$

수식의 양쪽에 36을(를) 더합니다.

$$18y=9$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-y+4에서 y을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}+4$$

4을(를) -\frac{1}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{7}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$10y+x-10x=y-27$$

x과(와) -10x을(를) 결합하여 -9x(을)를 구합니다.

$$10y-9x=y-27$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$10y-9x-y=-27$$

10y과(와) -y을(를) 결합하여 9y(을)를 구합니다.

$$9y-9x=-27$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9-\left(-9\right)}&-\frac{1}{9-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{9-\left(-9\right)}&\frac{1}{9-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{18}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{18}\left(-27\right)\\\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{18}\left(-27\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$10y+x-10x=y-27$$

x과(와) -10x을(를) 결합하여 -9x(을)를 구합니다.

$$10y-9x=y-27$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$10y-9x-y=-27$$

10y과(와) -y을(를) 결합하여 9y(을)를 구합니다.

$$9y-9x=-27$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

x 및 -9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-9x-9y=-9\times 4,-9x+9y=-27$$

단순화합니다.

$$-9x-9y=-36,-9x+9y=-27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -9x-9y=-36에서 -9x+9y=-27을(를) 뺍니다.

$$-9x+9x-9y-9y=-36+27$$

-9x을(를) 9x에 추가합니다. -9x 및 9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-9y-9y=-36+27$$

-9y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-18y=-36+27$$

-36을(를) 27에 추가합니다.

$$-18y=-9$$

양쪽을 -18(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{2}$$

-9x+9y=-27에서 y을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-9x+9\times \frac{1}{2}=-27$$

9에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-9x+\frac{9}{2}=-27$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$-9x=-\frac{63}{2}$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{7}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$