다음을 풀어보세요: {l}{x+y=3}{ax+5y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { a x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

$$y=-\frac{4-3a}{a-5}$$

$$a\neq 5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=3$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+3$$

다른 수식 ax+5y=4에서 -y+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$a\left(-y+3\right)+5y=4$$

a에 -y+3을(를) 곱합니다.

$$\left(-a\right)y+3a+5y=4$$

-ay을(를) 5y에 추가합니다.

$$\left(5-a\right)y+3a=4$$

수식의 양쪽에서 3a을(를) 뺍니다.

$$\left(5-a\right)y=4-3a$$

양쪽을 -a+5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4-3a}{5-a}$$

x=-y+3에서 y을(를) \frac{4-3a}{-a+5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4-3a}{5-a}+3$$

3을(를) -\frac{4-3a}{-a+5}에 추가합니다.

$$x=\frac{11}{5-a}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11}{5-a},y=\frac{4-3a}{5-a}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}&-\frac{1}{5-a}\\-\frac{a}{5-a}&\frac{1}{5-a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}\times 3+\left(-\frac{1}{5-a}\right)\times 4\\\left(-\frac{a}{5-a}\right)\times 3+\frac{1}{5-a}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5-a}\\-\frac{3a-4}{5-a}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{11}{5-a},y=-\frac{3a-4}{5-a}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

x 및 ax을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 a을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$ax+ay=a\times 3,ax+5y=4$$

단순화합니다.

$$ax+ay=3a,ax+5y=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 ax+ay=3a에서 ax+5y=4을(를) 뺍니다.

$$ax+\left(-a\right)x+ay-5y=3a-4$$

ax을(를) -ax에 추가합니다. ax 및 -ax이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$ay-5y=3a-4$$

ay을(를) -5y에 추가합니다.

$$\left(a-5\right)y=3a-4$$

양쪽을 a-5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3a-4}{a-5}$$

ax+5y=4에서 y을(를) \frac{3a-4}{a-5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$ax+5\times \frac{3a-4}{a-5}=4$$

5에 \frac{3a-4}{a-5}을(를) 곱합니다.

$$ax+\frac{5\left(3a-4\right)}{a-5}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{5\left(3a-4\right)}{a-5}을(를) 뺍니다.

$$ax=-\frac{11a}{a-5}$$

양쪽을 a(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{11}{a-5},y=\frac{3a-4}{a-5}$$