다음을 풀어보세요: {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=100$$

$$y=120$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{8}y을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=220$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+220$$

다른 수식 \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5에서 -y+220을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

\frac{2}{5}에 -y+220을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

-\frac{2y}{5}을(를) -\frac{3y}{8}에 추가합니다.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

수식의 양쪽에서 88을(를) 뺍니다.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

수식의 양쪽을 -\frac{31}{40}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=120$$

x=-y+220에서 y을(를) 120(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-120+220$$

220을(를) -120에 추가합니다.

$$x=100$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=100,y=120$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{8}y을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=100,y=120$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{8}y을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

x 및 \frac{2x}{5}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{2}{5}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

단순화합니다.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88에서 \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

\frac{2x}{5}을(를) -\frac{2x}{5}에 추가합니다. \frac{2x}{5} 및 -\frac{2x}{5}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

\frac{2y}{5}을(를) \frac{3y}{8}에 추가합니다.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

88을(를) 5에 추가합니다.

$$\frac{31}{40}y=93$$

수식의 양쪽을 \frac{31}{40}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=120$$

\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5에서 y을(를) 120(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

-\frac{3}{8}에 120을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

수식의 양쪽에 45을(를) 더합니다.

$$\frac{2}{5}x=40$$

수식의 양쪽을 \frac{2}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=100$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=100,y=120$$