다음을 풀어보세요: {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=96$$

$$y=108$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{4}x을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=204$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+204$$

다른 수식 -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0에서 -y+204을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

-\frac{3}{4}에 -y+204을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

\frac{3y}{4}을(를) \frac{2y}{3}에 추가합니다.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

수식의 양쪽에 153을(를) 더합니다.

$$\frac{17}{12}y=153$$

수식의 양쪽을 \frac{17}{12}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=108$$

x=-y+204에서 y을(를) 108(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-108+204$$

204을(를) -108에 추가합니다.

$$x=96$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=96,y=108$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{4}x을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=96,y=108$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{3}{4}x을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

x 및 -\frac{3x}{4}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -\frac{3}{4}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

단순화합니다.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153에서 -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0을(를) 뺍니다.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

-\frac{3x}{4}을(를) \frac{3x}{4}에 추가합니다. -\frac{3x}{4} 및 \frac{3x}{4}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

-\frac{3y}{4}을(를) -\frac{2y}{3}에 추가합니다.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

수식의 양쪽을 -\frac{17}{12}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=108$$

-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0에서 y을(를) 108(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

\frac{2}{3}에 108을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

수식의 양쪽에서 72을(를) 뺍니다.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

수식의 양쪽을 -\frac{3}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=96$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=96,y=108$$