다음을 풀어보세요: {l}{x+y=150}{16x=43y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 150 } \\ { 16 x = \frac { 43 y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=86$$

$$y=64$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$32x=43y$$

양쪽 모두에서 43y을(를) 뺍니다.

$$32x-43y=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=150,32x-43y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=150$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+150$$

다른 수식 32x-43y=0에서 -y+150을(를) x(으)로 치환합니다.

$$32\left(-y+150\right)-43y=0$$

32에 -y+150을(를) 곱합니다.

$$-32y+4800-43y=0$$

-32y을(를) -43y에 추가합니다.

$$-75y+4800=0$$

수식의 양쪽에서 4800을(를) 뺍니다.

$$-75y=-4800$$

양쪽을 -75(으)로 나눕니다.

$$y=64$$

x=-y+150에서 y을(를) 64(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-64+150$$

150을(를) -64에 추가합니다.

$$x=86$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=86,y=64$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$32x=43y$$

양쪽 모두에서 43y을(를) 뺍니다.

$$32x-43y=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=150,32x-43y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\32&-43\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{43}{-43-32}&-\frac{1}{-43-32}\\-\frac{32}{-43-32}&\frac{1}{-43-32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{75}&\frac{1}{75}\\\frac{32}{75}&-\frac{1}{75}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{75}\times 150\\\frac{32}{75}\times 150\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\64\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=86,y=64$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$32x=43y$$

양쪽 모두에서 43y을(를) 뺍니다.

$$32x-43y=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=150,32x-43y=0$$

x 및 32x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 32을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$32x+32y=32\times 150,32x-43y=0$$

단순화합니다.

$$32x+32y=4800,32x-43y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 32x+32y=4800에서 32x-43y=0을(를) 뺍니다.

$$32x-32x+32y+43y=4800$$

32x을(를) -32x에 추가합니다. 32x 및 -32x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$32y+43y=4800$$

32y을(를) 43y에 추가합니다.

$$75y=4800$$

양쪽을 75(으)로 나눕니다.

$$y=64$$

32x-43y=0에서 y을(를) 64(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$32x-43\times 64=0$$

-43에 64을(를) 곱합니다.

$$32x-2752=0$$

수식의 양쪽에 2752을(를) 더합니다.

$$32x=2752$$

양쪽을 32(으)로 나눕니다.

$$x=86$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=86,y=64$$