다음을 풀어보세요: {l}{x+6y=90}{3x+3y=-30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-30$$

$$y=20$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+6y=90$$

수식의 양쪽에서 6y을(를) 뺍니다.

$$x=-6y+90$$

다른 수식 3x+3y=-30에서 -6y+90을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

3에 -6y+90을(를) 곱합니다.

$$-18y+270+3y=-30$$

-18y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-15y+270=-30$$

수식의 양쪽에서 270을(를) 뺍니다.

$$-15y=-300$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=20$$

x=-6y+90에서 y을(를) 20(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-6\times 20+90$$

-6에 20을(를) 곱합니다.

$$x=-120+90$$

90을(를) -120에 추가합니다.

$$x=-30$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-30,y=20$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-30,y=20$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

단순화합니다.

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+18y=270에서 3x+3y=-30을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$18y-3y=270+30$$

18y을(를) -3y에 추가합니다.

$$15y=270+30$$

270을(를) 30에 추가합니다.

$$15y=300$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=20$$

3x+3y=-30에서 y을(를) 20(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+3\times 20=-30$$

3에 20을(를) 곱합니다.

$$3x+60=-30$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$3x=-90$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-30$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-30,y=20$$