다음을 풀어보세요: {l}{x+4y=-1}{2x-4y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = - 1 } \\ { 2 x - 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+4y=-1$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$x=-4y-1$$

다른 수식 2x-4y=4에서 -4y-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-4y-1\right)-4y=4$$

2에 -4y-1을(를) 곱합니다.

$$-8y-2-4y=4$$

-8y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-12y-2=4$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-12y=6$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-4y-1에서 y을(를) -\frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)-1$$

-4에 -\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=2-1$$

-1을(를) 2에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 2}&-\frac{4}{-4-4\times 2}\\-\frac{2}{-4-4\times 2}&\frac{1}{-4-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{12}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2x+2\times 4y=2\left(-1\right),2x-4y=4$$

단순화합니다.

$$2x+8y=-2,2x-4y=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+8y=-2에서 2x-4y=4을(를) 뺍니다.

$$2x-2x+8y+4y=-2-4$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y+4y=-2-4$$

8y을(를) 4y에 추가합니다.

$$12y=-2-4$$

-2을(를) -4에 추가합니다.

$$12y=-6$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{2}$$

2x-4y=4에서 y을(를) -\frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-4\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

-4에 -\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$2x+2=4$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$2x=2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$