다음을 풀어보세요: {l}{x+3y=19}{3y+7=x+2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 19 } \\ { 3 y + 7 = x + 2 y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=10$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$3y+7-x=2y$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3y+7-x-2y=0$$

3y과(와) -2y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$y+7-x=0$$

양쪽 모두에서 7을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$y-x=-7$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+3y=19$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x=-3y+19$$

다른 수식 -x+y=-7에서 -3y+19을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-3y+19\right)+y=-7$$

-1에 -3y+19을(를) 곱합니다.

$$3y-19+y=-7$$

3y을(를) y에 추가합니다.

$$4y-19=-7$$

수식의 양쪽에 19을(를) 더합니다.

$$4y=12$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

x=-3y+19에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3\times 3+19$$

-3에 3을(를) 곱합니다.

$$x=-9+19$$

19을(를) -9에 추가합니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=3$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$3y+7-x=2y$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3y+7-x-2y=0$$

3y과(와) -2y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$y+7-x=0$$

양쪽 모두에서 7을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$y-x=-7$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-3\left(-1\right)}&\frac{1}{1-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19-\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}\times 19+\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=10,y=3$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$3y+7-x=2y$$

양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3y+7-x-2y=0$$

3y과(와) -2y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$y+7-x=0$$

양쪽 모두에서 7을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$y-x=-7$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-x-3y=-19,-x+y=-7$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -x-3y=-19에서 -x+y=-7을(를) 뺍니다.

$$-x+x-3y-y=-19+7$$

-x을(를) x에 추가합니다. -x 및 x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3y-y=-19+7$$

-3y을(를) -y에 추가합니다.

$$-4y=-19+7$$

-19을(를) 7에 추가합니다.

$$-4y=-12$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

-x+y=-7에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+3=-7$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-x=-10$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=3$$