다음을 풀어보세요: {l}{x+2y=b}{2x-y=ab}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = b } \\ { 2 x - y = a b } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{b\left(2a+1\right)}{5}$$

$$y=\frac{b\left(2-a\right)}{5}$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+2y=b,2x-y=ab$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+2y=b$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x=-2y+b$$

다른 수식 2x-y=ab에서 -2y+b을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-2y+b\right)-y=ab$$

2에 -2y+b을(를) 곱합니다.

$$-4y+2b-y=ab$$

-4y을(를) -y에 추가합니다.

$$-5y+2b=ab$$

수식의 양쪽에서 2b을(를) 뺍니다.

$$-5y=b\left(a-2\right)$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{b\left(a-2\right)}{5}$$

x=-2y+b에서 y을(를) -\frac{b\left(-2+a\right)}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\left(-\frac{b\left(a-2\right)}{5}\right)+b$$

-2에 -\frac{b\left(-2+a\right)}{5}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2b\left(a-2\right)}{5}+b$$

b을(를) \frac{2b\left(-2+a\right)}{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{2ab+b}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2ab+b}{5},y=-\frac{b\left(a-2\right)}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+2y=b,2x-y=ab$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 2}&-\frac{2}{-1-2\times 2}\\-\frac{2}{-1-2\times 2}&\frac{1}{-1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}b+\frac{2}{5}ab\\\frac{2}{5}b-\frac{1}{5}ab\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2ab+b}{5}\\\frac{2b-ab}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{2ab+b}{5},y=\frac{2b-ab}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+2y=b,2x-y=ab$$

x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2x+2\times 2y=2b,2x-y=ab$$

단순화합니다.

$$2x+4y=2b,2x-y=ab$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+4y=2b에서 2x-y=ab을(를) 뺍니다.

$$2x-2x+4y+y=2b-ab$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y+y=2b-ab$$

4y을(를) y에 추가합니다.

$$5y=2b-ab$$

2b을(를) -ab에 추가합니다.

$$5y=b\left(2-a\right)$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2b-ab}{5}$$

2x-y=ab에서 y을(를) \frac{2b-ba}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-\frac{2b-ab}{5}=ab$$

수식의 양쪽에서 \frac{b\left(-2+a\right)}{5}을(를) 뺍니다.

$$2x=\frac{2b\left(2a+1\right)}{5}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2ab+b}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2ab+b}{5},y=\frac{2b-ab}{5}$$