다음을 풀어보세요: {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

대입 및 근의 공식을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$ty+2-x=0$$

양쪽 모두에서 2을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$ty-x=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대해 ty-x=-2을(를) 풉니다.

$$ty-x=-2$$

수식의 양쪽에서 -x을(를) 뺍니다.

$$ty=x-2$$

양쪽을 t(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

다른 수식 x^{2}+4y^{2}=4에서 \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4에 \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

x^{2}을(를) 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}에 추가합니다.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}을(를) a로, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right)을(를) b로, \frac{16}{t^{2}}-4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right)을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4에 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}}에 \frac{16}{t^{2}}-4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

\frac{256}{t^{4}}을(를) -\frac{256}{t^{4}}+16에 추가합니다.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2에 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}을(를) 풉니다. \frac{16}{t^{2}}을(를) 4에 추가합니다.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

4+\frac{16}{t^{2}}을(를) 2+\frac{8}{t^{2}}(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}을(를) 풉니다. \frac{16}{t^{2}}에서 4을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

\frac{16}{t^{2}}-4을(를) 2+\frac{8}{t^{2}}(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x: 2 및 -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}에 대해 두 개의 해답이 있습니다. 방정식 y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}에서 2을(를) x(으)로 치환해서 두 수식을 모두 만족하는 y에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t}에 2을(를) 곱합니다.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

수식 y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}에서 -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}을(를) x(으)로 치환하고 해답을 찾아서 두 수식을 모두 충족하는 y에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t}에 -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}을(를) 곱합니다.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$