다음을 풀어보세요: {l}{a-b=10-0}{3a-4b=33-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a - b = 10 - 0 } \\ { 3 a - 4 b = 33 - 8 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=15$$

$$b=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a-b=10,3a-4b=25$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a-b=10$$

수식의 양쪽에 b을(를) 더합니다.

$$a=b+10$$

다른 수식 3a-4b=25에서 b+10을(를) a(으)로 치환합니다.

$$3\left(b+10\right)-4b=25$$

3에 b+10을(를) 곱합니다.

$$3b+30-4b=25$$

3b을(를) -4b에 추가합니다.

$$-b+30=25$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$-b=-5$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$b=5$$

a=b+10에서 b을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=5+10$$

10을(를) 5에 추가합니다.

$$a=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=15,b=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a-b=10,3a-4b=25$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 10-25\\3\times 10-25\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=15,b=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$a-b=10,3a-4b=25$$

a 및 3a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3a+3\left(-1\right)b=3\times 10,3a-4b=25$$

단순화합니다.

$$3a-3b=30,3a-4b=25$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3a-3b=30에서 3a-4b=25을(를) 뺍니다.

$$3a-3a-3b+4b=30-25$$

3a을(를) -3a에 추가합니다. 3a 및 -3a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3b+4b=30-25$$

-3b을(를) 4b에 추가합니다.

$$b=30-25$$

30을(를) -25에 추가합니다.

$$b=5$$

3a-4b=25에서 b을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3a-4\times 5=25$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$3a-20=25$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$3a=45$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=15,b=5$$