다음을 풀어보세요: {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=-4$$

$$b=3$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 a을(를) 더합니다.

$$3b+a=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a+4b=8$$

수식의 양쪽에서 4b을(를) 뺍니다.

$$a=-4b+8$$

다른 수식 a+3b=5에서 -4b+8을(를) a(으)로 치환합니다.

$$-4b+8+3b=5$$

-4b을(를) 3b에 추가합니다.

$$-b+8=5$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$-b=-3$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$b=3$$

a=-4b+8에서 b을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-4\times 3+8$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$a=-12+8$$

8을(를) -12에 추가합니다.

$$a=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-4,b=3$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 a을(를) 더합니다.

$$3b+a=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=-4,b=3$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 a을(를) 더합니다.

$$3b+a=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 a+4b=8에서 a+3b=5을(를) 뺍니다.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

a을(를) -a에 추가합니다. a 및 -a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4b-3b=8-5$$

4b을(를) -3b에 추가합니다.

$$b=8-5$$

8을(를) -5에 추가합니다.

$$b=3$$

a+3b=5에서 b을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a+3\times 3=5$$

3에 3을(를) 곱합니다.

$$a+9=5$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$a=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-4,b=3$$