다음을 풀어보세요: {l}{a+3b=2}{2a-3b=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 2 } \\ { 2 a - 3 b = 8 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$b=-\frac{4}{9}\approx -0.444444444$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a+3b=2$$

수식의 양쪽에서 3b을(를) 뺍니다.

$$a=-3b+2$$

다른 수식 2a-3b=8에서 -3b+2을(를) a(으)로 치환합니다.

$$2\left(-3b+2\right)-3b=8$$

2에 -3b+2을(를) 곱합니다.

$$-6b+4-3b=8$$

-6b을(를) -3b에 추가합니다.

$$-9b+4=8$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$-9b=4$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$b=-\frac{4}{9}$$

a=-3b+2에서 b을(를) -\frac{4}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-3\left(-\frac{4}{9}\right)+2$$

-3에 -\frac{4}{9}을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{4}{3}+2$$

2을(를) \frac{4}{3}에 추가합니다.

$$a=\frac{10}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 2}&-\frac{3}{-3-3\times 2}\\-\frac{2}{-3-3\times 2}&\frac{1}{-3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 8\\\frac{2}{9}\times 2-\frac{1}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

a 및 2a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2a+2\times 3b=2\times 2,2a-3b=8$$

단순화합니다.

$$2a+6b=4,2a-3b=8$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2a+6b=4에서 2a-3b=8을(를) 뺍니다.

$$2a-2a+6b+3b=4-8$$

2a을(를) -2a에 추가합니다. 2a 및 -2a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6b+3b=4-8$$

6b을(를) 3b에 추가합니다.

$$9b=4-8$$

4을(를) -8에 추가합니다.

$$9b=-4$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$b=-\frac{4}{9}$$

2a-3b=8에서 b을(를) -\frac{4}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2a-3\left(-\frac{4}{9}\right)=8$$

-3에 -\frac{4}{9}을(를) 곱합니다.

$$2a+\frac{4}{3}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$2a=\frac{20}{3}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{10}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$