다음을 풀어보세요: {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x-4y=8$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$9x=4y+8$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

\frac{1}{9}에 8+4y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

다른 수식 6x-2y=3에서 \frac{8+4y}{9}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

6에 \frac{8+4y}{9}을(를) 곱합니다.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

\frac{8y}{3}을(를) -2y에 추가합니다.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{16}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{2}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{7}{2}$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}에서 y을(를) -\frac{7}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{4}{9}에 -\frac{7}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{9}을(를) -\frac{14}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{2}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

9x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

단순화합니다.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 54x-24y=48에서 54x-18y=27을(를) 뺍니다.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

54x을(를) -54x에 추가합니다. 54x 및 -54x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-24y+18y=48-27$$

-24y을(를) 18y에 추가합니다.

$$-6y=48-27$$

48을(를) -27에 추가합니다.

$$-6y=21$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{7}{2}$$

6x-2y=3에서 y을(를) -\frac{7}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

-2에 -\frac{7}{2}을(를) 곱합니다.

$$6x+7=3$$

수식의 양쪽에서 7을(를) 뺍니다.

$$6x=-4$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$