다음을 풀어보세요: {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m=1$$

$$n=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$9m-13n=22$$

수식의 양쪽에 13n을(를) 더합니다.

$$9m=13n+22$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

\frac{1}{9}에 13n+22을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

다른 수식 2m+3n=-1에서 \frac{13n+22}{9}을(를) m(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

2에 \frac{13n+22}{9}을(를) 곱합니다.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

\frac{26n}{9}을(를) 3n에 추가합니다.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{44}{9}을(를) 뺍니다.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

수식의 양쪽을 \frac{53}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=-1$$

m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}에서 n을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

\frac{13}{9}에 -1을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{22}{9}을(를) -\frac{13}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=1,n=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=1,n=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m 및 2m을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18m-26n=44에서 18m+27n=-9을(를) 뺍니다.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

18m을(를) -18m에 추가합니다. 18m 및 -18m이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-26n-27n=44+9$$

-26n을(를) -27n에 추가합니다.

$$-53n=44+9$$

44을(를) 9에 추가합니다.

$$-53n=53$$

양쪽을 -53(으)로 나눕니다.

$$n=-1$$

2m+3n=-1에서 n을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

3에 -1을(를) 곱합니다.

$$2m-3=-1$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$2m=2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$m=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=1,n=-1$$