다음을 풀어보세요: {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

k, a에 대한 해

$$k=-500$$

$$a=7650$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 k을(를) 고립시켜 k에 대한 해를 찾습니다.

$$8k+a=3650$$

수식의 양쪽에서 a을(를) 뺍니다.

$$8k=-a+3650$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

\frac{1}{8}에 -a+3650을(를) 곱합니다.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

다른 수식 15k+a=150에서 -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}을(를) k(으)로 치환합니다.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

15에 -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

-\frac{15a}{8}을(를) a에 추가합니다.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

수식의 양쪽에서 \frac{27375}{4}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{8}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$a=7650$$

k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}에서 a을(를) 7650(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 k에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

-\frac{1}{8}에 7650을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1825}{4}을(를) -\frac{3825}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$k=-500$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$k=-500,a=7650$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 k 및 a을(를) 추출합니다.

$$k=-500,a=7650$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8k+a=3650에서 15k+a=150을(를) 뺍니다.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

a을(를) -a에 추가합니다. a 및 -a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8k-15k=3650-150$$

8k을(를) -15k에 추가합니다.

$$-7k=3650-150$$

3650을(를) -150에 추가합니다.

$$-7k=3500$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$k=-500$$

15k+a=150에서 k을(를) -500(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

15에 -500을(를) 곱합니다.

$$-7500+a=150$$

수식의 양쪽에 7500을(를) 더합니다.

$$a=7650$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$k=-500,a=7650$$