다음을 풀어보세요: {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x-8y=9$$

수식의 양쪽에 8y을(를) 더합니다.

$$7x=8y+9$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{7}에 8y+9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

다른 수식 4x-13y=-10에서 \frac{8y+9}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

4에 \frac{8y+9}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

\frac{32y}{7}을(를) -13y에 추가합니다.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

수식의 양쪽에서 \frac{36}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{59}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{106}{59}$$

x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}에서 y을(를) \frac{106}{59}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{8}{7}에 \frac{106}{59}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{7}을(를) \frac{848}{413}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{197}{59}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

7x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

단순화합니다.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 28x-32y=36에서 28x-91y=-70을(를) 뺍니다.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

28x을(를) -28x에 추가합니다. 28x 및 -28x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-32y+91y=36+70$$

-32y을(를) 91y에 추가합니다.

$$59y=36+70$$

36을(를) 70에 추가합니다.

$$59y=106$$

양쪽을 59(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{106}{59}$$

4x-13y=-10에서 y을(를) \frac{106}{59}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

-13에 \frac{106}{59}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

수식의 양쪽에 \frac{1378}{59}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{788}{59}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{197}{59}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$