다음을 풀어보세요: {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=10$$

$$y=-9$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+3y=43$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$7x=-3y+43$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

\frac{1}{7}에 -3y+43을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

다른 수식 4x-3y=67에서 \frac{-3y+43}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

4에 \frac{-3y+43}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

-\frac{12y}{7}을(를) -3y에 추가합니다.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

수식의 양쪽에서 \frac{172}{7}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{33}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-9$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

-\frac{3}{7}에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{43}{7}을(를) \frac{27}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-9$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=10,y=-9$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

단순화합니다.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 28x+12y=172에서 28x-21y=469을(를) 뺍니다.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

28x을(를) -28x에 추가합니다. 28x 및 -28x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y+21y=172-469$$

12y을(를) 21y에 추가합니다.

$$33y=172-469$$

172을(를) -469에 추가합니다.

$$33y=-297$$

양쪽을 33(으)로 나눕니다.

$$y=-9$$

4x-3y=67에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

-3에 -9을(를) 곱합니다.

$$4x+27=67$$

수식의 양쪽에서 27을(를) 뺍니다.

$$4x=40$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-9$$