다음을 풀어보세요: {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=-2$$

$$b=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$7a-10b=-64$$

수식의 양쪽에 10b을(를) 더합니다.

$$7a=10b-64$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

\frac{1}{7}에 10b-64을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

다른 수식 3a+5b=19에서 \frac{10b-64}{7}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

3에 \frac{10b-64}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

\frac{30b}{7}을(를) 5b에 추가합니다.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

수식의 양쪽에 \frac{192}{7}을(를) 더합니다.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{65}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=5$$

a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}에서 b을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

\frac{10}{7}에 5을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{64}{7}을(를) \frac{50}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-2,b=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=-2,b=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

7a 및 3a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

단순화합니다.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 21a-30b=-192에서 21a+35b=133을(를) 뺍니다.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

21a을(를) -21a에 추가합니다. 21a 및 -21a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-30b-35b=-192-133$$

-30b을(를) -35b에 추가합니다.

$$-65b=-192-133$$

-192을(를) -133에 추가합니다.

$$-65b=-325$$

양쪽을 -65(으)로 나눕니다.

$$b=5$$

3a+5b=19에서 b을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3a+5\times 5=19$$

5에 5을(를) 곱합니다.

$$3a+25=19$$

수식의 양쪽에서 25을(를) 뺍니다.

$$3a=-6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-2,b=5$$