다음을 풀어보세요: {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x-18y=-85$$

수식의 양쪽에 18y을(를) 더합니다.

$$6x=18y-85$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

\frac{1}{6}에 18y-85을(를) 곱합니다.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

다른 수식 24x-5y=-5에서 3y-\frac{85}{6}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

24에 3y-\frac{85}{6}을(를) 곱합니다.

$$72y-340-5y=-5$$

72y을(를) -5y에 추가합니다.

$$67y-340=-5$$

수식의 양쪽에 340을(를) 더합니다.

$$67y=335$$

양쪽을 67(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=3y-\frac{85}{6}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

3에 5을(를) 곱합니다.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

-\frac{85}{6}을(를) 15에 추가합니다.

$$x=\frac{5}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

6x 및 24x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 24을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

단순화합니다.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 144x-432y=-2040에서 144x-30y=-30을(를) 뺍니다.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

144x을(를) -144x에 추가합니다. 144x 및 -144x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-432y+30y=-2040+30$$

-432y을(를) 30y에 추가합니다.

$$-402y=-2040+30$$

-2040을(를) 30에 추가합니다.

$$-402y=-2010$$

양쪽을 -402(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

24x-5y=-5에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$24x-5\times 5=-5$$

-5에 5을(를) 곱합니다.

$$24x-25=-5$$

수식의 양쪽에 25을(를) 더합니다.

$$24x=20$$

양쪽을 24(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$