다음을 풀어보세요: {l}{6x+3y=60}{2x+5y=800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 60 } \\ { 2 x + 5 y = 800 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{175}{2} = -87\frac{1}{2} = -87.5$$

$$y=195$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+3y=60$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$6x=-3y+60$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+60\right)$$

\frac{1}{6}에 -3y+60을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

다른 수식 2x+5y=800에서 -\frac{y}{2}+10을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=800$$

2에 -\frac{y}{2}+10을(를) 곱합니다.

$$-y+20+5y=800$$

-y을(를) 5y에 추가합니다.

$$4y+20=800$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$4y=780$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=195$$

x=-\frac{1}{2}y+10에서 y을(를) 195(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times 195+10$$

-\frac{1}{2}에 195을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{195}{2}+10$$

10을(를) -\frac{195}{2}에 추가합니다.

$$x=-\frac{175}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{6\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-3\times 2}&\frac{6}{6\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 60-\frac{1}{8}\times 800\\-\frac{1}{12}\times 60+\frac{1}{4}\times 800\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{175}{2}\\195\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

6x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$2\times 6x+2\times 3y=2\times 60,6\times 2x+6\times 5y=6\times 800$$

단순화합니다.

$$12x+6y=120,12x+30y=4800$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x+6y=120에서 12x+30y=4800을(를) 뺍니다.

$$12x-12x+6y-30y=120-4800$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y-30y=120-4800$$

6y을(를) -30y에 추가합니다.

$$-24y=120-4800$$

120을(를) -4800에 추가합니다.

$$-24y=-4680$$

양쪽을 -24(으)로 나눕니다.

$$y=195$$

2x+5y=800에서 y을(를) 195(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+5\times 195=800$$

5에 195을(를) 곱합니다.

$$2x+975=800$$

수식의 양쪽에서 975을(를) 뺍니다.

$$2x=-175$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{175}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$