다음을 풀어보세요: {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=50$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+15y=360$$

수식의 양쪽에서 15y을(를) 뺍니다.

$$6x=-15y+360$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

\frac{1}{6}에 -15y+360을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

다른 수식 8x+10y=440에서 -\frac{5y}{2}+60을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

8에 -\frac{5y}{2}+60을(를) 곱합니다.

$$-20y+480+10y=440$$

-20y을(를) 10y에 추가합니다.

$$-10y+480=440$$

수식의 양쪽에서 480을(를) 뺍니다.

$$-10y=-40$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

x=-\frac{5}{2}y+60에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

-\frac{5}{2}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=-10+60$$

60을(를) -10에 추가합니다.

$$x=50$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=50,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=50,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

단순화합니다.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 48x+120y=2880에서 48x+60y=2640을(를) 뺍니다.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

48x을(를) -48x에 추가합니다. 48x 및 -48x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$120y-60y=2880-2640$$

120y을(를) -60y에 추가합니다.

$$60y=2880-2640$$

2880을(를) -2640에 추가합니다.

$$60y=240$$

양쪽을 60(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

8x+10y=440에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x+10\times 4=440$$

10에 4을(를) 곱합니다.

$$8x+40=440$$

수식의 양쪽에서 40을(를) 뺍니다.

$$8x=400$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=50$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=50,y=4$$