다음을 풀어보세요: {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{5}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-y=5$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$5x=y+5$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{5}에 y+5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

다른 수식 -\frac{1}{5}x+y=0에서 \frac{y}{5}+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

-\frac{1}{5}에 \frac{y}{5}+1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

-\frac{y}{25}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{24}{25}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{5}{24}$$

x=\frac{1}{5}y+1에서 y을(를) \frac{5}{24}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{5}에 \frac{5}{24}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

1을(를) \frac{1}{24}에 추가합니다.

$$x=\frac{25}{24}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{5}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{5}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

5x 및 -\frac{x}{5}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -\frac{1}{5}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

단순화합니다.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -x+\frac{1}{5}y=-1에서 -x+5y=0을(를) 뺍니다.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

-x을(를) x에 추가합니다. -x 및 x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

\frac{y}{5}을(를) -5y에 추가합니다.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

수식의 양쪽을 -\frac{24}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{5}{24}$$

-\frac{1}{5}x+y=0에서 y을(를) \frac{5}{24}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{24}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

양쪽에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{25}{24}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$