다음을 풀어보세요: {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=25$$

$$y=15$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-y=110$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$5x=y+110$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

\frac{1}{5}에 y+110을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

다른 수식 -x+9y=110에서 \frac{y}{5}+22을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

-1에 \frac{y}{5}+22을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

-\frac{y}{5}을(를) 9y에 추가합니다.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

수식의 양쪽에 22을(를) 더합니다.

$$\frac{44}{5}y=132$$

수식의 양쪽을 \frac{44}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=15$$

x=\frac{1}{5}y+22에서 y을(를) 15(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

\frac{1}{5}에 15을(를) 곱합니다.

$$x=3+22$$

22을(를) 3에 추가합니다.

$$x=25$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=25,y=15$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=25,y=15$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

5x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

단순화합니다.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -5x+y=-110에서 -5x+45y=550을(를) 뺍니다.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

-5x을(를) 5x에 추가합니다. -5x 및 5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-45y=-110-550$$

y을(를) -45y에 추가합니다.

$$-44y=-110-550$$

-110을(를) -550에 추가합니다.

$$-44y=-660$$

양쪽을 -44(으)로 나눕니다.

$$y=15$$

-x+9y=110에서 y을(를) 15(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+9\times 15=110$$

9에 15을(를) 곱합니다.

$$-x+135=110$$

수식의 양쪽에서 135을(를) 뺍니다.

$$-x=-25$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=25$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=25,y=15$$