다음을 풀어보세요: {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 19y을(를) 뺍니다.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y과(와) -19y을(를) 결합하여 -23y(을)를 구합니다.

$$5x-23y=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-23y=0$$

수식의 양쪽에 23y을(를) 더합니다.

$$5x=23y$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

\frac{1}{5}에 23y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{23}{5}y$$

다른 수식 5x+2y=71에서 \frac{23y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

5에 \frac{23y}{5}을(를) 곱합니다.

$$23y+2y=71$$

23y을(를) 2y에 추가합니다.

$$25y=71$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{71}{25}$$

x=\frac{23}{5}y에서 y을(를) \frac{71}{25}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{23}{5}에 \frac{71}{25}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1633}{125}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 19y을(를) 뺍니다.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y과(와) -19y을(를) 결합하여 -23y(을)를 구합니다.

$$5x-23y=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 19y을(를) 뺍니다.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y과(와) -19y을(를) 결합하여 -23y(을)를 구합니다.

$$5x-23y=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x-23y=0에서 5x+2y=71을(를) 뺍니다.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-23y-2y=-71$$

-23y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-25y=-71$$

양쪽을 -25(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{71}{25}$$

5x+2y=71에서 y을(를) \frac{71}{25}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

2에 \frac{71}{25}을(를) 곱합니다.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

수식의 양쪽에서 \frac{142}{25}을(를) 뺍니다.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1633}{125}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$