다음을 풀어보세요: {l}{5x-4y=19}{3x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { 3 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{161}{11} = 14\frac{7}{11} \approx 14.636363636$$

$$y = \frac{149}{11} = 13\frac{6}{11} \approx 13.545454545$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-4y=19$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$5x=4y+19$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

\frac{1}{5}에 4y+19을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

다른 수식 3x+2y=71에서 \frac{4y+19}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}\right)+2y=71$$

3에 \frac{4y+19}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{12}{5}y+\frac{57}{5}+2y=71$$

\frac{12y}{5}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{22}{5}y+\frac{57}{5}=71$$

수식의 양쪽에서 \frac{57}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{22}{5}y=\frac{298}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{22}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{149}{11}$$

x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}에서 y을(를) \frac{149}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{149}{11}+\frac{19}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{4}{5}에 \frac{149}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{596}{55}+\frac{19}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{19}{5}을(를) \frac{596}{55}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{161}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{2}{11}\times 71\\-\frac{3}{22}\times 19+\frac{5}{22}\times 71\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{161}{11}\\\frac{149}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

5x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 19,5\times 3x+5\times 2y=5\times 71$$

단순화합니다.

$$15x-12y=57,15x+10y=355$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x-12y=57에서 15x+10y=355을(를) 뺍니다.

$$15x-15x-12y-10y=57-355$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-10y=57-355$$

-12y을(를) -10y에 추가합니다.

$$-22y=57-355$$

57을(를) -355에 추가합니다.

$$-22y=-298$$

양쪽을 -22(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{149}{11}$$

3x+2y=71에서 y을(를) \frac{149}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\times \frac{149}{11}=71$$

2에 \frac{149}{11}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{298}{11}=71$$

수식의 양쪽에서 \frac{298}{11}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{483}{11}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{161}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$